تكامل \( \sin^2(x) \cos^2(x) \)

الاشتقاق خطوة بخطوة باستخدام المتطابقات المثلثية، الصيغة، والمراجع

الاشتقاق والتقييم

قيم التكامل:

\[ \int \sin^2(x) \cos^2(x) \, dx \]

استخدم المتطابقات المثلثية \( \sin^2 x = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \) و \( \cos^2 x = \dfrac{1}{2}(1 + \cos(2x)) \) لإعادة كتابة التكامل:

\[ \int \sin^2(x) \cos^2(x) \, dx = \dfrac{1}{4} \int (1 - \cos(2x))(1 + \cos(2x)) \, dx \]

افرد دالة التكامل في الطرف الأيمن باستخدام فرق المربعات:

\[ = \dfrac{1}{4} \int (1 - \cos^2(2x)) \, dx \]

استخدم المتطابقة المثلثية \( \cos^2 \theta = \dfrac{1}{2}(1 + \cos(2\theta)) \)، والتي من أجل \( \theta = 2x \) تعطى بـ \( \cos^2(2x) = \dfrac{1}{2}(1 + \cos(4x)) \):

\[ = \dfrac{1}{4} \int \left( 1 - \dfrac{1}{2}(1 + \cos(4x)) \right) dx \]

بسط دالة التكامل داخل القوسين:

\[ = \dfrac{1}{4} \int \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\cos(4x) \right) dx = \dfrac{1}{8} \int (1 - \cos(4x)) \, dx \]

استخدم التكاملات القياسية \( \int 1 \, dx = x \) و \( \int \cos(kx) \, dx = \dfrac{1}{k}\sin(kx) \) لتقييم التكامل:

\[ = \dfrac{1}{8} \left( x - \dfrac{1}{4} \sin(4x) \right) + c \]

حيث \( c \) هو ثابت التكامل.

تُعطى النتيجة النهائية بـ:

صيغة التكامل لـ \( \sin^2(x)\cos^2(x) \):
\[ \int \sin^2(x) \cos^2(x) \, dx = \dfrac{1}{8} \left( x - \dfrac{1}{4} \sin(4x) \right) + c \]

المزيد من المراجع والروابط

  1. جدول صيغ التكامل
  2. University Calculus - Early Transcendentals - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
  3. Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13: 978-0961408824
  4. Calculus - Early Transcendentals - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8